二重积分习题，二重积分例题

二重积分是高等数学中的重要概念，它涉及对二维平面上的区域进行积分。小编将深入探讨二重积分的习题和例题，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一数学工具。

1.不计算借助于二重积分性质来比较积分大小

比较积分区域相同，被积函数不同的情况

当积分区域相被积函数不同，我们可以通过分析被积函数的特征与彼此间的关系来比较它们的大小。这种方法利用了积分的保序性，即在积分区域不变的情况下，被积函数的大小关系将直接影响积分值的大小。

2.根据二重积分的对称性计算二重积分

利用对称性简化计算

在计算二重积分时，可以利用对称性来简化计算过程。例如，如果一个积分区域关于某个轴或点对称，那么可以利用这一对称性来减少计算量。

3.二重积分交换积分次序的求解思路

步骤一：确定边界曲线方程

令积分变量分别等于相应积分上下限表达式，得到构成积分区域的边界曲线方程。

步骤二：绘制边界曲线图形

绘制边界曲线方程对应的曲线图形，并通过积分变量的取值范围确定所围成的积分区域。

步骤三：判定区域

判定区域是否为所要求的积分区域，如果不是，则进行适当的调整。

4.二重积分部分练习题

例题1：计算二重积分∫∫xydxdy，其中D为区域0≤x≤1，0≤y≤1

解：根据题目给出的区域，我们可以将二重积分表示为∫∫xydxdy=∫(0to1)∫(0to1)xydydx。

例题2：若区域D为0≤x≤2，|y|≤2，则∫∫xydxdy的值为多少？

解：在这个问题中，我们需要计算的是区域D上的二重积分。由于区域D关于x轴对称，我们可以利用对称性来简化计算。

5.计算积分I=∫∫(x^2xye^(x^2y^2))dxdy

步骤一：确定积分区域

我们需要确定积分区域D。在这个例子中，D是未指定的区域。

步骤二：改变积分次序

由于解e^x的表达式不能用初等函数表示，我们需要改变积分次序。

步骤三：计算积分

根据改变后的积分次序，我们可以将积分表示为∫(1to2)∫(1to2)x^2xye^(x^2y^2)dydx。

6.补充轮换对称性

轮换对称性

轮换对称性关于x,y满足轮换对称性。若D关于x轴满足轮换对称性，将D的边界关于x轴对称（将边界曲线方程中的x与y交换位置，方程不变），交换位置后，积分区域不变。